ランベルトのW関数を用いたおべんきょう(その1)

みなさん、おはこんばんちは

唐突ですが、皆さんはこれ解けますか？

$$\frac{ x^2}{log(x)} = 9$$

ただし、 $log(x)$ は自然対数です。

「は？こんなもん右辺に $log(x)$ 移行して・・・え？」 って普通の人はなると思います。

自分もここから先でつまづいたので、メモがてら解き方をネタにしておきます。

ここで、ランベルトのW関数というのが出てきます。

超々ざっくりに言うと、 $z = W(ze^z)$ が成り立つ関数というものがあるってことです。(数学科の人ゆるして)

簡単な例を出すと、

$$x^2 = W( x^2e^{x^2} )$$

ですし、

$$5x =W( 5xe^{5x} )$$

が成り立ちます。

ただし、$z$ の部分が以下のように違うと

$$7x \neq W( 7xe^{5x} )$$

当然ですが成り立ちません。そのような関数です。

ではここで、

$$\frac{ x^2}{log(x)} = 9$$

に立ち戻ってみましょう。 まずは、さっきのランベルトのW関数を使える形にしたいですよね。

まず計算しやすいように逆数にして

$$\begin{aligned} \frac {log(x)}{x^2} \AND = \frac {1} {9} \\ log(x) \cdot x^{-2} \AND = \frac {1} {9} \end{aligned}$$

W関数を使いやすいように、わざと $x^{-2}$ を $e^{-2log(x)}$ にしてあげて 、両辺に $-2$ を掛けて、今回は

$$\begin{aligned} log(x) \cdot e^{-2log(x)} \AND = \frac {1} {9} \\ -2log(x) \cdot e^{-2log(x)} \AND = - \frac {2} {9} \end{aligned}$$

W関数を適用して、なんか解けそうな形にして、

$$\begin{aligned} W(-2log(x) \cdot e^{-2log(x)}) \AND = W \left(- \frac {2} {9} \right) \\ -2log(x) \AND = W \left(- \frac {2} {9} \right) \\ \end{aligned}$$

$-2$ で割ったり $e$ をまた乗せて、

$$\begin{aligned} -2log(x) \AND = W \left(- \frac {2} {9} \right) \\ log(x) \AND = - \frac {1} {2} W \left(- \frac {2} {9} \right) \end{aligned}$$

完成です！

$$\begin{aligned} x = e^{- \frac {1} {2} W \left(- \frac {2} {9} \right) } \end{aligned}$$

W関数内の計算どうすんだよ！って思うかもしれませんが、Wolfram Alpha の、Product Logで計算できます。

つまり、

$$\begin{aligned} x \AND = e^{- \frac {1} {2} W \left(- \frac {2} {9} \right) } \\ \AND \fallingdotseq 1.162... \end{aligned}$$

です。 ちなみにですが、Product Log は ランベルトのW関数 と 同じ意味です。

「ちょっとまて。$y=x^2$ と $y=9log(x)$ でプロットしてみたら、2つ解があるぞ？」

そう考えたあなた。鋭いです。 $x=1.162$ は出せました。問題はグラフ上にある $x=3.262$ です。

軽くネタバレすると、ランベルトのW関数は多価関数で、$W(z)$ の $z$ の値によっては多価を返したり、一価を返したりします。

これは次の投稿で書きますので、気になる方は少々お待ち下さい。

書きました

参考

• x^2 = 2^x ～ ランベルトのW関数と共に
• ランベルトのW関数(Wikipedia 日本語)
• Lambert W function(Wikipedia 英語)
• Two Easy-Looking Equations(Youtube)
• ランベルトのW関数

みなさん、おはこんばんちは 唐突ですが、皆さんはこれ解けますか？ $$\frac{ x^2}{log(x)} = 9$$ ただし、 $log(x)$ は自然対数です。 「は？こんなもん右辺に $log(x)$ 移行して・・・え？」 って普通の人はなると思います。 自分もここから先でつまづいたので、メモがてら解き方をネタにしておきます。 ここで、[ランベルトのW関数](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AEW%E9%96%A2%E6%95%B0)というのが出てきます。 超々ざっくりに言うと、 $z = W(ze^z)$ が成り立つ関数というものがあるってことです。(数学科の人ゆるして) 簡単な例を出すと、 $$x^2 = W( x^2e^{x^2} )$$ ですし、 $$5x =W( 5xe^{5x} )$$ が成り立ちます。 ただし、$z$ の部分が以下のように違うと $$7x \neq W( 7xe^{5x} )$$ 当然ですが成り立ちません。そのような関数です。 ではここで、 $$\frac{ x^2}{log(x)} = 9$$ に立ち戻ってみましょう。 まずは、さっきのランベルトのW関数を使える形にしたいですよね。 まず計算しやすいように逆数にして $$\begin{aligned} \frac {log(x)}{x^2} \AND = \frac {1} {9} \\ log(x) \cdot x^{-2} \AND = \frac {1} {9} \end{aligned}$$ W関数を使いやすいように、わざと $x^{-2}$ を $e^{-2log(x)}$ にしてあげて 、両辺に $-2$ を掛けて、今回は $$\begin{aligned} log(x) \cdot e^{-2log(x)} \AND = \frac {1} {9} \\ -2log(x) \cdot e^{-2log(x)} \AND = - \frac {2} {9} \end{aligned}$$ W関数を適用して、なんか解けそうな形にして、 $$\begin{aligned} W(-2log(x) \cdot e^{-2log(x)}) \AND = W \left(- \frac {2} {9} \right) \\ -2log(x) \AND = W \left(- \frac {2} {9} \right) \\ \end{aligned}$$ $-2$ で割ったり $e$ をまた乗せて、 $$\begin{aligned} -2log(x) \AND = W \left(- \frac {2} {9} \right) \\ log(x) \AND = - \frac {1} {2} W \left(- \frac {2} {9} \right) \end{aligned}$$ 完成です！ $$\begin{aligned} x = e^{- \frac {1} {2} W \left(- \frac {2} {9} \right) } \end{aligned}$$ W関数内の計算どうすんだよ！って思うかもしれませんが、[Wolfram Alpha](https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E%28%28-1/2%29*ProductLog%280,-2/9%29%29&lang=ja) の、[Product Log](https://reference.wolfram.com/language/ref/ProductLog.html)で計算できます。 つまり、 $$\begin{aligned} x \AND = e^{- \frac {1} {2} W \left(- \frac {2} {9} \right) } \\ \AND \fallingdotseq 1.162... \end{aligned}$$ です。 ちなみにですが、[Product Log は ランベルトのW関数](https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function) と 同じ意味です。 「ちょっとまて。$y=x^2$ と $y=9log(x)$ でプロットしてみたら、2つ解があるぞ？」 そう考えたあなた。鋭いです。 $x=1.162$ は出せました。問題はグラフ上にある $x=3.262$ です。 軽くネタバレすると、ランベルトのW関数は多価関数で、$W(z)$ の $z$ の値によっては多価を返したり、一価を返したりします。 これは次の投稿で書きますので、気になる方は少々お待ち下さい。 [書きました](https://takayoshikane.blogspot.com/2020/10/w2.html) 参考 - [x^2 = 2^x ～ ランベルトのW関数と共に](https://mikan-alpha.hatenablog.com/entry/productlog_W) - [ランベルトのW関数(Wikipedia 日本語)](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AEW%E9%96%A2%E6%95%B0) - [Lambert W function(Wikipedia 英語)](https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function) - [Two Easy-Looking Equations(Youtube)](https://www.youtube.com/watch?v=GKdEbFO-5lY) - [ランベルトのW関数](http://gilbert.ninja-web.net/math/lambert.html)