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2020年9月7日月曜日

ランベルトのW関数を用いたおべんきょう(その1)

みなさん、おはこんばんちは

唐突ですが、皆さんはこれ解けますか?

x2log(x)=9\frac{ x^2}{log(x)} = 9

ただし、 log(x)log(x) は自然対数です。

「は?こんなもん右辺に log(x)log(x) 移行して・・・え?」 って普通の人はなると思います。

自分もここから先でつまづいたので、メモがてら解き方をネタにしておきます。

ここで、ランベルトのW関数というのが出てきます。

超々ざっくりに言うと、 z=W(zez)z = W(ze^z) が成り立つ関数というものがあるってことです。(数学科の人ゆるして)

簡単な例を出すと、

x2=W(x2ex2)x^2 = W( x^2e^{x^2} )

ですし、

5x=W(5xe5x)5x =W( 5xe^{5x} )

が成り立ちます。

ただし、zz の部分が以下のように違うと

7xW(7xe5x)7x \neq W( 7xe^{5x} )
当然ですが成り立ちません。そのような関数です。

ではここで、

x2log(x)=9\frac{ x^2}{log(x)} = 9
に立ち戻ってみましょう。 まずは、さっきのランベルトのW関数を使える形にしたいですよね。

まず計算しやすいように逆数にして

log(x)x2=19log(x)x2=19\begin{aligned} \frac {log(x)}{x^2} \AND = \frac {1} {9} \\ log(x) \cdot x^{-2} \AND = \frac {1} {9} \end{aligned}

W関数を使いやすいように、わざと x2x^{-2}e2log(x)e^{-2log(x)} にしてあげて 、両辺に 2-2 を掛けて、今回は

log(x)e2log(x)=192log(x)e2log(x)=29\begin{aligned} log(x) \cdot e^{-2log(x)} \AND = \frac {1} {9} \\ -2log(x) \cdot e^{-2log(x)} \AND = - \frac {2} {9} \end{aligned}

W関数を適用して、なんか解けそうな形にして、

W(2log(x)e2log(x))=W(29)2log(x)=W(29)\begin{aligned} W(-2log(x) \cdot e^{-2log(x)}) \AND = W \left(- \frac {2} {9} \right) \\ -2log(x) \AND = W \left(- \frac {2} {9} \right) \\ \end{aligned}

2-2 で割ったり ee をまた乗せて、

2log(x)=W(29)log(x)=12W(29)\begin{aligned} -2log(x) \AND = W \left(- \frac {2} {9} \right) \\ log(x) \AND = - \frac {1} {2} W \left(- \frac {2} {9} \right) \end{aligned}

完成です!

x=e12W(29)\begin{aligned} x = e^{- \frac {1} {2} W \left(- \frac {2} {9} \right) } \end{aligned}

W関数内の計算どうすんだよ!って思うかもしれませんが、Wolfram Alpha の、Product Logで計算できます。

つまり、

x=e12W(29)1.162...\begin{aligned} x \AND = e^{- \frac {1} {2} W \left(- \frac {2} {9} \right) } \\ \AND \fallingdotseq 1.162... \end{aligned}

です。 ちなみにですが、Product Log は ランベルトのW関数 と 同じ意味です。

「ちょっとまて。y=x2y=x^2y=9log(x)y=9log(x) でプロットしてみたら、2つ解があるぞ?」
Plot x^2 and 9ln(x)

そう考えたあなた。鋭いです。 x=1.162x=1.162 は出せました。問題はグラフ上にある x=3.262x=3.262 です。

軽くネタバレすると、ランベルトのW関数は多価関数で、W(z)W(z)zz の値によっては多価を返したり、一価を返したりします。

これは次の投稿で書きますので、気になる方は少々お待ち下さい。

書きました

参考

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